[2015년 백신고]

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[2학년 1학기 기말 미적분1]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{x-> 0} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x} =1}]일 때, 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 점 [eqn: LEFT ( 0,```f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 방정식은? [3.4점]

③

① [eqn: y=-x-1]	② [eqn: y=-x+1]	③ [eqn: y=x]

④ [eqn: y=x-1]	⑤ [eqn: y=x+1]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [3.9점]

①

ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극댓값이 반드시 극솟값보다

큰 것은 아니다.

ㄴ. 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ a,```b RIGHT ]]에서 연속이고, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( b RIGHT )]인

모든 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 롤의 정리가 성립한다.

ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 어떤 구간에서 미분가능할 때, 그

구간의 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0]이면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

그 구간에서 증가한다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g(x)]의 그래프가 그림과 같을 때, 구간
[eqn: LEFT [ -5,```3 RIGHT ]]에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) g prime LEFT ( x RIGHT ) <0]을 만족하는 모든 정수 [eqn: x]값의 합은? (단, [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =g LEFT ( a RIGHT )], [eqn: f LEFT ( c RIGHT ) =g LEFT ( c RIGHT )], [eqn: g LEFT ( -4 RIGHT ) =f LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( 0 RIGHT ) =0],
[eqn: f` prime LEFT ( -4 RIGHT ) =g prime LEFT ( b RIGHT ) =f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =g prime LEFT ( d RIGHT ) =0]) [3.9점]

②

① [eqn: -9]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 4]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( -x RIGHT )]이고 [eqn: x=2]에서 극솟값이 [eqn: -12]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [4.0점]

③

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]

④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ -1,``` sqrt {3} RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -3x ^{2}]의 최댓값을 [eqn: a], 최솟값을 [eqn: b]라고 할 때, [eqn: -2 LEFT | a RIGHT | + LEFT ( 9+b RIGHT ) ^{2}]의 값은? [3.7점]

④

① [eqn: 17]	② [eqn: 20]	③ [eqn: 23]

④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 27]

[eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는 모든 다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대한 설명 중 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? [4.4점]

④

ㄱ. 함수 [eqn: f LEFT ( LEFT | x RIGHT | RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. 함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) + LEFT | x RIGHT |]는 [eqn: x=0]에서 극솟값을 갖는다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

그림과 같이 가로의 길이 [eqn: 15rmcm], 세로의 길이 [eqn: 24rmcm]인 직사각형 모양의 종이가 있다. 이 종이의 네 귀퉁이에서 크기가 같은 정사각형을 잘라 내고 남는 부분을 접어서 뚜껑이 없는 직육면체 모양의 상자를 만들려고 한다. 이 상자의 부피가 최대가 되도록 만들 때, 잘라낸 정사각형 모양의 종이의 한 변의 길이는? [3.7점]

⑤

① [eqn: {5} over {3} rmcm]	② [eqn: 2rmcm]	③ [eqn: {7} over {3}rm cm]

④ [eqn: {8} over {3} rmcm]	⑤ [eqn: 3rmcm]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-3x ^{4} +8x ^{3} -6x ^{2} -k], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+2]가 있다. 임의의 두 실수 [eqn: x_1], [eqn: x_2]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x _{1} RIGHT ) <g LEFT ( x _{2} RIGHT )]가 성립하기 위한 정수 [eqn: k]의 최솟값은? [4.2점]

③

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]

④ [eqn: 0]	⑤ [eqn: 1]

두 곡선 [eqn: y=x ^{3} +8k], [eqn: y=3kx ^{2}]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 음의 정수 [eqn: k]의 최댓값은? [4.0점]

④

① [eqn: -5]	② [eqn: -4]	③ [eqn: -3]
④ [eqn: -2]	⑤ [eqn: -1]

그림과 같이 키가 [eqn: 180rmcm]인 사람이 지상 [eqn: 4.5rmm] 높이에 있는 가로등의 바로 밑에서 출발하여 일직선으로 점점 멀어져 가고 있다. 이 사람이 매초 [eqn: 1.2rmm/s]의 속도로 걷고 있을 때, 그림자의 길이의 변화율은? [3.8점]

①

① [eqn: 0.8rmm/s]	② [eqn: 1.0rmm/s]	③ [eqn: 1.2rmm/s]

④ [eqn: 1.5rmm/s]	⑤ [eqn: 1.8rmm/s]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 한 부정적분 [eqn: F LEFT ( x RIGHT )]에 대하여,
[eqn: F LEFT ( x RIGHT ) =xf LEFT ( x RIGHT ) -2x ^{3} +x ^{2} +1]이고 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =3]일 때, [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은?
[3.4점]

②

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

실수 전체에서 정의된 연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

이 때, 방정식 [eqn: 3f LEFT ( x RIGHT ) =x]의 서로 다른 실근의 개수는? [4.0점]

(가) [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =-1]

(나) [eqn: f LEFT ( x-2 RIGHT ) =f LEFT ( x+2 RIGHT )]

(다) [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2&``` LEFT ( -2<x<-1 RIGHT )#4x&``` LEFT ( -1<x<1 RIGHT )#-2&``` LEFT ( 1<x<2 RIGHT )}}]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]

④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

원점을 지나는 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )] 위의 임의의 점 [eqn: LEFT ( a,```f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 방정식이 [eqn: y= LEFT ( a ^{2} +1 RIGHT ) x+g LEFT ( a RIGHT )]일 때, [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +g LEFT ( -1 RIGHT )]의 값은? [3.8점]

⑤

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

이차함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{x} ^{x+1} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}]라고 할 때, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =f LEFT ( 3 RIGHT ) =0]) [3.9점]

①

ㄱ. [eqn: g LEFT ( -1 RIGHT ) =g LEFT ( 2 RIGHT )]

ㄴ. 극댓값과 극솟값을 각각 [eqn: 1]개씩 갖는다.

ㄷ. 최솟값은 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

연속함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
[eqn: int _{0} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =10], [eqn: int _{7} ^{-2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =2], [eqn: int _{-2} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) dx} =-1]
일 때, 정적분 [eqn: int _{0} ^{7} {f LEFT ( x RIGHT )} dx]의 값은? [3.8점]

⑤

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]

④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

점 [eqn: LEFT ( 2,```-3 RIGHT )]에서 곡선 [eqn: y=x ^{2} -5x+4]에 그은 모든 접선과 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3.7점]

②

① [eqn: 1over3]	② [eqn: 2over3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 4over3]	⑤ [eqn: 5over3]

다음 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: C]의 값의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? [4.0점]

④

[eqn: circ][eqn: A= lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT ) ^{3} {3} over {n}}]

[eqn: circ][eqn: B= int _{-1} ^{1} {LEFT ( 1+2x+3x ^{2} + CDOTS +100x ^{99} RIGHT ) dx}]

[eqn: circ][eqn: C= lim _{x-> 1} {{1} over {x ^{3} -1} int _{1} ^{x} {LEFT ( t ^{3} -2t RIGHT ) dt}}]

① [eqn: A < B < C]	② [eqn: A <C < B]	③ [eqn: B< A < C]

④ [eqn: C < A < B]	⑤ [eqn: C < B < A]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,```1 RIGHT ]]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2}]의 역함수를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 구간 [eqn: LEFT [ 0,```1 RIGHT ]]을 [eqn: n]등분하여 직선 [eqn: x= {k} over {n}]와 두 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )] 및 직선 [eqn: y=1]이 만나는 점을 각각 [eqn: A_k], [eqn: B_k], [eqn: C_k]라 하자. 삼각형 [eqn: A _{k-1} B _{k-1} C _{k}]의 넓이를 [eqn: S _{k}]라 할 때, [eqn: lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} S _{k}}]의 값은? (단, [eqn: k=1,```2,```3,``` CDOTS ,```n]) [4.4점]

①

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over3]	③ [eqn: 1over2]
④ [eqn: 2over3]	⑤ [eqn: 5over6]

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]에서의 속도 [eqn: v LEFT ( t RIGHT )]를 나타내는 그래프가 그림과 같다. 옳은 것만을 보기에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: 0 LEQ t LEQ 8]) [3.8점]

④

ㄱ. 점 [eqn: rmP]는 운동방향을 [eqn: 3]번 바꾸었다.

ㄴ. 점 [eqn: rmP]는 출발 후 다시 원점을 지난다.

ㄷ. [eqn: 8]초일 때의 점 [eqn: rmP]의 위치는 [eqn: 3]이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

자연수 [eqn: n]에 대하여 두 함수 [eqn: y=x ^{n}], [eqn: y=x ^{n+2}]의 그래프로 둘러싸인 도형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라고 할 때, [eqn: {1} over {S _{n}} <5 ^{2}]을 만족시키는 모든 [eqn: n]의 값들의 합은? [4.2점]

③

① [eqn: 21]	② [eqn: 28]	③ [eqn: 36]
④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 55]

서술형

[eqn: x]에 대한 사차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =-x ^{4} +4ax ^{3} -6 LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) x ^{2}]이 극솟값을 갖도록 하는 모든 자연수 [eqn: a]값의 합을 구하고 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 1] 또는 [eqn: 3]

[eqn: int _{-1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f LEFT ( t RIGHT ) dt} = {1} over {2} x ^{4} -2x ^{3} +6x ^{2} - {17} over {2}]을 만족할 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값을 구하고 그 과정을 서술하시오. [6.0점]

[eqn: 6]

수직선 위를 움직이는 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]의 시각 [eqn: t]에서의 속도가 각각 [eqn: 3t ^{2} -4t+1], [eqn: -2t+2]이다. 점 [eqn: P]는 원점을 출발하고 점 [eqn: rmQ]는 [eqn: 2]인 점을 출발했을 때, 두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]가 만나는 지점까지 점 [eqn: rmQ]가 움직인 거리를 구하고 그 과정을 서술하시오. [8.0점]

[eqn: 4]

[2015년 백신고]

[2학년 1학기 기말 미적분1]

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